Nein, die Fahrkarte gilt nur in Deutschland und das Stück nach Basel.
Die ÖBB und SBB sind an der Fahrkarte nicht beteiligt.

Kann ich einen Zug in der Schweiz mit meinem Ticket nutzen, wenn bei meinem ICE-Ticket "Zugbindung aufgehoben" angezeigt wird

Die erste Frage wäre ja, ob Du mit der ICE-Fahrkarte einen Zug durch Österreich nutzen kannst und hier lautet die Antwort eindeutig nein.

Wenn das Ziel Deiner Fahrkarte Basel SBB ist, müsstest Du für den ECE lediglich eine Fahrkarte von Lindau nach Sankt Margrethen lösen, z.B. im VVV-Tarif über oebb.at.
Die SBB (TCV-Code 1185) wären in diesem Fall bereits an der Fahrkarte beteiligt.

Lautet das Ziel Basel Bad Bf handelt es sich um eine Inlandsfahrkarte, die innerschweizerisch keine Gültigkeit hat. In diesem Fall müsste eine Fahrkarte Lindau-Basel gelöst werden.

Erfolgsaussichten für eine Erstattung durch SC FGR unklar.

Du wirst nicht drumherum kommen mit dem SEV nach Baden-Baden und ab dort wieder ICE zu fahren.